Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为（0，b），求过点P，Q，F2三点的圆的方程；

（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）通过焦距以及准线方程，求出a，c，然后求解b，得到椭圆方程．

（2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可．

（3）求出P的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可．

（1）由题意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1．

所以椭圆的方程为．

（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0．

由解得或所以Q点的坐标为．

设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则

解得

所以圆的方程为．

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．

因为，所以

所以，解得．

所以

=

=．

因为，所以，当且仅当，即λ=1时取等号，

所以．即最大值为．