Question

【题目】如图，在几何体中，四边形是矩形， 平面， . ， 分别是线段的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)

【解析】试题分析：

(I)做出辅助线，由题意可证得结合线面平行的判断定理可得平面.

(II)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得与平面所成角的正切值是.

试题解析：

（Ⅰ）证明：取中点，连接.在中， 分别是线段的中点，所以且；又在矩形中， 且，故且，四边形是平行四边形， 面， 面，所以平面.

（Ⅱ）方法一：如图，把原几何体补成一个以等腰直角三角形为底面的直三棱柱.由于，所以与平面所成角即为与平面所成角.

又面，所以为与平面所成角的平面角.

. 与平面所成角的正切值.

解法二：如图，以为坐标原点， 分别为轴， 轴建立空间直角坐标系，则.所以，

又平面，所以平面的法向量可为.

设与平面所成角为， ，

所以与平面所成角的正切值为.