Question

【题目】已知函数（）（…是自然对数的底数）.

（1）求单调区间；

（2）讨论在区间内零点的个数.

Answer 1

【答案】(1) 当时， ， 单调增间为，无减区间；

当时， 单调减间为，增区间为

(2) 所以或或时， 有两个零点；

当且时， 有三个零点

【解析】试题分析：(1) 求出， 讨论， 两种情况，分别令得增区间， 得减区间；(2)要求在区间内零点的个数，考虑在区间的零点个数，利用导数研究函数的单调性，分三种情况， ， ，分别求出零点个数即可.

试题解析：（1）

当时， ， 单调增间为，无减区间；

当时， 单调减间为，增区间为

（2）由得或

先考虑在区间的零点个数

当时， 在单调增且， 有一个零点；

当时， 在单调递减， 有一个零点；

当时， 在单调递减， 单调递增.

而，所以或时， 有一个零点，当时， 有两个零点

而时，由得

所以或或时， 有两个零点；

当且时， 有三个零点.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.