Question

（2005•温州一模）已知四棱锥P-ABCD．四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC⊥DB．
（Ⅱ）试问：当AP的长度为多少时，二面角D-PC-A的大小为60°？

Answer 1

分析：（方法1）以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P（0，0，h）．
（Ⅰ） 求出

PC

，

DB

的坐标，通过证明

PC

，

DB

的数量积为0来证明PC⊥DB
（Ⅱ）分别求出面CPA，面CPD的一个法向量，利用两法向量夹角与二面角的大小关系，通过解关于h的方程即可．
（方法2）（ I ）由已知，PC在面ABCD内的射影是AC．且有AC⊥BD，由三垂线定理即可证明 PC⊥DB
（II） 设AC、BD交于E．在面CPA内，作EF⊥CP于F，连接DF，由三垂线定理得DF⊥CP．得出∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角，利用解三角形知识求出AP．

解答：解：（方法1）以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P（0，0，h）．
（I）

PC

=(1，1，-h)，

DB

=(-1，1，0)，

PC

•

DB

=(1，1，-h)•(-1，1，0)=0，所以PC⊥DB．（4′）
（II）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．又PC⊥DB，
∴DB⊥面CPA，所以面CPA的一个法向量是

DB

=(-1，1，0)．（6′）

DP

=(-1，0，h)，

DC

=(0，1，0)．
设面CPD的一个法向量为

h

=(x，y，1)，
则有

DP

•

h

=(-1，0，h)•(x，y，1)=-x+h=0，

DC

•

h

=(0，1，0)•(x，y，1)=y=0．所以

h

=(h，0，1)．（8′）cos?

h

，

DB

＞=

(-1，1，0)•(h，0，1)

2(h2+1)

=

-h

2(h2+1)

．（10′）
由于二面角D-PC-A的平面角与?

h

，

DB

＞相等或互补，∴

h

2(h2+1)

=cos60°=

1

2

，
∴h=1．即当AP的长度为1时，二面角D-PC-A的大小为60°（12′）
（方法2）（I）∵PA⊥面ABCD∴PC在面ABCD内的射影是AC．四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理得PC⊥BD．（4′）
（II）设AC、BD交于E．在面CPA内，作EF⊥CP于F，连接DF．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．
又PC⊥DB，∴DB⊥面CPA，EF是DF在面CPA上的射影，由三垂线定理得DF⊥CP．∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角（8′）．
由△CFE～△CAP，得EF=

AP•CE

CP

=

AP• 2 2

AP2+2

，
∴tan∠DFE=

AP

AP2+2

=

3

3

．
解得AP=1．即当AP的长度为1时，二面角D-PC-A的大小为60°．（12′）

点评：本题主要考查空间角，距离的计算，线线垂直的证明，空间角的度量． 考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法，
通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，来进行有关证明或计算，则可以有效地降低思维难度．