题目内容
（2005•温州一模）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于任意的n∈N*，都有4Sn=（an+1）2．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若2n≥tSn 对于任意的n∈N* 恒成立，求实数t 的最大值．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若2n≥tSn 对于任意的n∈N* 恒成立，求实数t 的最大值．
分析：（1）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn-4Sn-1进行化简得an-an-1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（2）若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则t≤min{
}，然后研究数列的单调性，可求出t的范围，从而求出所求．
（2）若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则t≤min{
| 2n |
| n2 |
解答：解：（1）∵4S1=4a1=（a1+1）2，
∴a1=1．当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，又{an}各项均为正数，
∴an-an-1=2．数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1．
（ 2）Sn=n2，若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则t≤min{
}．令bn=
，．
当n≥3时，
=
=
＞1．
又b1=2，b2=1，b3=
，
∴min{bn}=min{
}=
．
∴t的最大值是
．
∴a1=1．当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，又{an}各项均为正数，
∴an-an-1=2．数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1．
（ 2）Sn=n2，若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则t≤min{
| 2n |
| n2 |
| 2n |
| n2 |
当n≥3时，
| bn+1 |
| bn |
| 2n2 |
| (n+1)2 |
| n2+(n-1)n+n |
| n2+2n+1 |
又b1=2，b2=1，b3=
| 8 |
| 9 |
∴min{bn}=min{
| 2n |
| n2 |
| 8 |
| 9 |
∴t的最大值是
| 8 |
| 9 |
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及恒成立问题和转化的数学思想，属于中档题．
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