Question

【题目】如图在三棱柱中，为边的中点..

（1）证明：平面；

（2）若，为中点且，，，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

由题意知,，利用线面平行的判定定理即可证明;

由已知条件可得,由线面垂直的判定知,平面，由线面垂直的性质知,，由知，,进而证明平面，由面面垂直的判定定理知,平面平面，且交线为，过点作，则平面,利用等体积法：求解即可.

（1）证明：因为三棱柱中，侧面为平行四边形，

由，可知为的中点，又因为为边的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面;

（2）作图如下:

因为，,为公共边，

所以，所以，

因为为中点,,

则，，

由线面垂直的判定知,平面，

所以 ,

又因为为中点，为中点，连，

则，

所以,, ,

所以平面，

所以平面平面，且交线为，

过点作，则平面，

即为点到平面的距离，

因为，，

所以三角形为等边三角形,即，

又，所以满足,

即,,

由知,,,

所以,

所以.