Question

【题目】在中，满足：，M是的中点.

（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：

（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；

（2）通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；

（3）设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．

解：（1）设向量，与向量的夹角为

，

令，.

（2），，

设，则，而，

，

当且仅当时，的最小值是.

（3）设，

，，，

，

同理：，

当且仅当时，

所以.