Question

【题目】已知函数（e为自然对数的底数）．

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）求出，判断函数在上单调递减，即可求出函数的值域。

（2）将代入化简得，

令，问题等价于对任意，恒成立，

对求导，讨论k的取值，判断，即可得出答案。

（1）因为，

所以，

，，

，所以，

故函数在上单调递减，函数的最大值为；

的最小值为，

所以函数的值域为.

（2）原不等式可化为，任意恒成立。

因为恒成立，

当时，不等式恒成立，

当时，式可化简为

令，则，

1）当时，，

所以函数在上单调递增，故，

所以；

2）当时，令；得，

所以当时，；

当时，．

①当，即时，函数在单调递减，在单调递增，所以恒成立；

②当，即时，函数但上单调速减，

，解得.

即

综上所述：.