Question

【题目】在直三棱柱中，、、、分别为中点，.

（1）求证：平面．

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连接，根据直棱柱的特征，易知，再由、分别为的中点，根据中位线定理，可得，得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则．，再分别求得平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量公式

求解.

（1）证明：如图所示：

取中点，连接，易知，

、分别为的中点，∴，

∴．

故四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，

平面．

（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

如图所示：

则．

∴，

设平面的法向量为，

则，

即，取，得，

易知平面的一个法向量为，

∴，

∴二面角的余弦值为．