Question

【题目】如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析过程；（2）.

【解析】

（1）连接交于于点，连接，利用等腰三角形的性质、正方形的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出与平面垂直，进而得到，最后利用勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.

（1）连接交于于点，底面是正方形，所以，是的中点，因为，所以,因为，

所以，,因为,因此平面，而平面，所以，因为，，，所以有，因此，，平面，因此平面；

（2）由（1）可知：平面，而是正方形，因此以所在的直线为横轴，纵轴和竖轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

，因为，所以可得，

由（1）可知：平面，所以平面的法向量为：，设平面的法向量为：，，因此有

，

设二面角的平面角为，所以有;

.