Question

(本小题12分) 如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，
且∠A₁AD=∠A₁AB=60°。

①求证四棱锥 A₁-ABCD为正四棱锥；
②求侧棱AA₁到截面B₁BDD₁的距离；
③求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小。

Answer 1

（1）因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心，因此证明。
（2）a
（3）arctan。

试题分析：（1）由AA₁＝AD＝AB，及∠A₁AD＝∠A₁AB＝60°△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，从而AA₁＝A₁D＝A₁B，设A₁在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱锥A₁—ABCD是正四棱锥。

（2）由DB⊥平面AA₁O截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O点O与侧棱AA₁的距离d等于AA₁和截面BB₁D₁D之间的距离。取AA₁的中点M，则OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM＝A₁C＝a，∴所求距离为a。
（3）注意到所求二面角的棱是B₁B，由M是AA₁的中点MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁MB⊥B₁B，又DB⊥AA₁，AA₁//B₁BDB⊥B₁B，

∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨设AB＝a＝2，则BD＝2，MB＝MD＝，
∴tanMBD＝。
∴侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的夹角为arctan。
点评：对于立体几何中的角和距离的求解是高考的一个方向，那么解决这类问题一般可以从两个角度来做，一个就是利用几何性质，结合定理和推论来了得到，另一个就是建立直角坐标系，通过法向量和直线的方向向量来表示得到，属于中档题。