Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是一直角梯形，，,，且PA=AD=DC=AB=1.

(1)证明：平面平面
(2)设AB,PA,BC的中点依次为M、N、T，求证：PB∥平面MNT
(3)求异面直线与所成角的余弦值

Answer 1

（1）证明：先得
由，推出,,根据得到平面平面；
（2） 。

试题分析：

（1）证明：∵,∴
又∵，
∴,∵,且
∴,又∵∴平面平面      4′
（2）连接MN，MT，NT; ∵M、N分别为AB、AP中点 ∴MN//PB
∵,∴PB∥平面MNT     7′
解：∵AB中点M，AP中点N，BC中点T，，则MN//PB，MT//AC
∴就是异面直线AC与PB所成角(或补角)。     9′
∵,∴在RT△PAB中，,
在RT△ADC中，,,在RT△ACT中,,
在RT△NAT中,,∴在△MNT中，
故异面直线AC与PB所成的角的余弦值为         12′
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题属于立体几何中的基本问题。