Question

设f（x）=

x2+4

x

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在[2，+∞）单调递增．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）求函数的定义域，确定f（x）与f（-x）的关系即可；
（2）用定义法证明单调性．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+4

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
又∵f(-x)=

(-x)2+4

-x

=-

x2+4

x

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x12+4

x1

-

x22+4

x2

=

x12x2+4x2-x1x22-4x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．