Question

（本题满分16分）

已知数列为各项均为正的等比数列，其公比为q．

（1）当q＝时，在数列中：

     ①最多有几项在1～100之间？

     ②最多有几项是1～100之间的整数？

（2）当q＞1时，在数列中，最多有几项是100～1000之间的整数？

（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

（本题满分16分）

解：（1）①不妨设≥1，设数列有n项在1和100之间，则

        ≤100．所以，≤100．

两边同取对数，得 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n≤12.37．

故n的最大值为12，即数列中，最多有12项在1和100之间．……………5分

②不妨设1≤…≤100，其中，， ，…， 均为整数，所以为2的倍数．所以3≤100，所以n≤5．………8分

又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．

所以，当q＝时，最多有5项是1和100之间的整数．…………………………10分

（2）设等比数列满足100≤aaq…≤1000，

其中a，aq，…，均为整数，，显然，q必为有理数．…………11分

设q=，t＞s≥1，t与s互质，

        因为 =为整数，所以a是的倍数．………………………………12分

        令t=s+1，于是数列满足 100≤a＜a·＜…＜a·≤100．

如果s≥3，则1000≥a·≥（q+1）n－1≥4n－1，所以n≤5．

如果s=1，则1000≥a·≥100·，所以，n≤4．

如果s=2，则1000≥a·≥100·，所以n≤6．……………………………13分

另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，

所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．………………………16分