Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点为F₁、F₂，M为双曲线上一点，若

F1M

•

F2M

=0，且tan∠MF1F2=

1

2

，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  5

• D．

  5

  6

Answer 1

分析：根据F₁F₂为圆的直径，推断出∠F₁MF₂为直角，进而可推断出tan∠MF₁F₂=

|MF2|

|MF1|

，求得|MF₁|的关系|MF₂|，设|MF₁|=t，|MF₂|=2t．根据双曲线的定义求得a，利用勾股定理求得c，则双曲线的离心率可得．

解答：解：∵

F1M

•

F2M

=0，∴

F1M

⊥

F2M

，∴tan∠MF₁F₂=

|MF2|

|MF1|

=

1

2

．
设|MF₁|=2t，|MF₂|=t，根据双曲线的定义可知2a=2t-t=t，a=

1

2

t．
直角三角形MF₁F₂中，由勾股定理可得 4t²+t²=4c²，
∴c=

5

2

t．
故离心率等于

c

a

=

5

，
故选C．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，两个向量垂直的条件，考查了基本的运算能力，属于中档题．