Question

19．设等差数列{a_n}的公差为d＞1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为q．已知b₁=a₁，b₂=2，q=d，S₁₀=100．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．

解答 （本小题（12分），第1小题（6分），第2小题6分）
解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d=100}\\{{a}_{1}d=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=9}\\{d=\frac{2}{9}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1．
（2）∵${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$…①，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\frac{9}{2^5}+…+\frac{2n-1}{2^n}$…②
①-②可得$\frac{1}{2}{T_n}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$，
故T_n=$6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，等差数列以及等比数列的应用，考查数列求和的方法，是中档题．