Question

4．若△ABC为锐角三角形，则下列式子一定成立的是（　　）

• A． log_cosC$\frac{sinA}{cosB}$＞0
• B． log_sinC$\frac{cosA}{cosB}$＞0
• C． log_sinC$\frac{sinA}{sinB}$＞0
• D． log_sinC$\frac{cosA}{sinB}$＞0

Answer 1

分析 由△ABC为锐角三角形，得A+B＞$\frac{π}{2}$，移向后利用三角函数的单调性借助于诱导公式可说明$\frac{sinA}{cosB}＞1$，0＜$\frac{cosA}{sinB}＜1$，从而可得A错误，D正确；举例说明B，C错误．

解答 解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}-B$，则sinA＞cosB＞0，$\frac{sinA}{cosB}＞1$，
又0＜cosC＜1，∴log_cosC$\frac{sinA}{cosB}$＜0，A错误；
∵0＜sinC＜1，当A=70°，B=80°时，$\frac{cosA}{cosB}＞1$，log_sinC$\frac{cosA}{cosB}$＜0，B错误；
当A=80°，B=70°时，$\frac{sinA}{sinB}＞1$，log_sinC$\frac{sinA}{sinB}$＜0，C错误；
由A+B＞$\frac{π}{2}$，即B＞$\frac{π}{2}-A$，则sinB＞cosA＞0，0＜$\frac{cosA}{sinB}＜1$，$lo{g}_{sinC}\frac{cosA}{sinB}＞0$，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．