Question

14．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}$（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求在展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式展开式的通项公式求得n=8，可得展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项为T₂=-16•x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（2）根据第r+1项的系数为${C}_{n}^{r}$•（-2）^r=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r，可得当r=6时，系数最大，从而得出结论．

解答 解：（1）已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}$（n∈N^*）的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{n-5r}{2}}$，
再根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•（-2）}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•（-2）}^{2}}$=10：1，求得n=8，
令$\frac{8-5r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=1，可得展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项为T₂=-16•x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（2）由于第r+1项的系数为${C}_{n}^{r}$•（-2）^r=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r，故r应为偶数，
利用二项式系数的性质，经检验可得当r=6时，系数最大，
即第七项的系数最大为 T₇=${C}_{8}^{6}$•（-2）⁶=1792•x^-12．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．