Question

【题目】如图，在多面体中，为矩形，为等腰梯形，，，，且，平面平面，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点.连接，，先证明平面平面，然后可证明结论.
（Ⅱ）过作，垂直为，连接,可得面平面，可得为直线与平面所成的角，在直角中，由射影定理可得，由，则，可求得，从而求得，再根据可求得体积.

解：（Ⅰ）如图，取的中点.连接，.

在矩形中，∵，分别为线段，的中点，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

在中，∵，分别为线段，的中点，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

又，平面，

∴平面平面.

又平面，

∴平面.

（Ⅱ）如图，过作，垂直为，连接.

面平面平面，且平面平面，平面

所以面平面,则为在平面上的射影.

所以为直线与平面所成的角

则，则

在等腰梯形中，，，则

由，则有，

在直角中，由射影定理有，,则

在直角中，,得

又在直角中, ,得，所以

连接.

∴

.