题目内容

16．已知5，3分别为递减的等差数列{an}中的相邻两项，且数列{an}的前8项和为32，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前20项和Sn的大小为$\frac{20}{319}$．

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设递减的等差数列{an}的公差为d，则d=3-5=-2．
又S8=8a1+$\frac{8×7}{2}×$（-2）=32，解得a1=11，
∴an=11-2（n-1）=13-2n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（13-2n）（11-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-13}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前20项和S20=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{-9}-\frac{1}{-11}）+（\frac{1}{-7}-\frac{1}{-9}）$+…+$（\frac{1}{2×20-11}-\frac{1}{2×20-13}）]$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2×20-11}-\frac{1}{-11}）$=$\frac{20}{319}$．
故答案为：$\frac{20}{319}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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6．在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前五项的和等于（　　）
A．-25B．25C．-31D．31
7．实数x，y满足x2=2xsin（xy）-1，则x2014+4sin13y=5．
4．等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，则S13=104．
11．给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是②④
①若a，b，c成等比数列，则b=$\root{3}{abc}$；
②若a，b，c成等比数列，则ma，mb，mc（m为常数）也成等比数列；
③若{an}的通项an=c（b-1）bn-1（bc≠0且b≠1），则{an}是等比数列；
④若{an}的前n项和Sn=apn（a，p均为非零实数），则{an}是等比数列；
⑤若{an}是等比数列，则an，a2n，a3n也是等比数列．
1．已知函数f（x）=2cosωx（asinωx+$\sqrt{3}$cosωx）-$\sqrt{3}$（a，ω＞0）的最大值为2，f（x）的两个零点之间距离的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若锐角B满足f（B）=0，b=2$\sqrt{3}$，S△ABC=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．
8．已知数列{an}满足对任意n∈N*，an＞0，且a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列．
（1）若a2=a5一2=1，求a1的值；
（2）证明：数列{$\sqrt{{a}_{2n}}$}是等差数列；
（3）设a1-a2＜0，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$$＜\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．
5．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小周期和最小值；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，求g（x）的值域．
1．已知向量$\overrightarrow a=（cosθ，-sinθ），\overrightarrow b=（-cos2θ，sin2θ）（θ∈（π，2π））$，若向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为φ，则有（　　）
A．φ=θB．φ=π-θC．φ=θ-πD．φ=θ-2π

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