Question

【题目】如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、A1B1的中点，A1C与AC1交于点F，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．

（1）求证：EF∥平面BB1C1C；

（2）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）推导出OE∥B1C1，OF∥C1C，，从而平面OEF∥平面BB1C1C，由此能证明EF∥平面BB1C1C；

（2）设点C1到平面AA1B1的距离为d，由，求出由此能求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.

证明：（1）∵O，E分别是A1C1、A1B1的中点，A1C与AC1交于点F，

∴OEB1C1，OFC1C，

又平面BB1C1C，平面BB1C1C，

平面BB1C1C，

同理平面BB1C1C，

又，平面OEF，

∴平面OEF平面BB1C1C，

∵EF平面OEF，

∴EF平面BB1C1C．

（2）设点C1到平面AA1B1的距离为d，

∵，

∴，

AO，OB1，

AB12，

∵△AA1B1中，A1B1＝AB1＝2，AA＝2，

边AA上的高为：，

∴，

∴，

解得d，

设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，

∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为：

sinθ．