Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；

（Ⅱ）设在其定义域内有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出可得在有解，转化为函数与的图象在上有交点，求出相切时，利用数形结合思想可得结果；（Ⅱ）根据极值点的定义可得，作差可得， 等价于 令，则，不等式在上恒成立，讨论两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得函数最值，从而筛选符合题意的的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0， ），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解.

方程有解转化为函数的图像在上有交点，

如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须

令切点为，所以

，所以

（Ⅱ）

因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即

因为

令，则，由题意知，不等式上恒成立.

令

如果所以上单调递增，又

上恒成立，符合题意.

如果时， 上单调递增，在上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.

综上所述，若不等式恒成立，只须.