Question

20．设f（x）=|ax+2|+x-1（a＞0）．
（1）若a=1，请将f（x）写成分段函数的形式并求出f（x）的最小值；
（2）若对?x≥1，f（x）≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去掉绝对值可得分段函数，再由一次函数的单调性可得最小值；
（2）由题意可得ax+x≥2，即有a≥$\frac{2}{x}$-1，运用单调性求得右边函数的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+x-1，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥-2}\\{-3，x＜-2}\end{array}\right.$，
当x≥-2时，可得f（x）≥-3，
则f（x）的最小值为-3；
（2）对?x≥1，f（x）≥3成立，
即有|ax+2|+x-1≥3，
由a＞0，x≥1，可得ax+x≥2，
即有a≥$\frac{2}{x}$-1，
由$\frac{2}{x}$-1≤2-1=1，
可得a≥1，即a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意运用分段函数的单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，属于中档题．