Question

用反证法证明下列命题：
（1）

2

不是有理数；
（2）在意的三角形中，至少有一个角大于或等于60°．

Answer 1

考点：反证法

专题：综合题,反证法,推理和证明

分析：（1）利用反证法假设

2

是有理数，进而利用有理数的性质分析得出矛盾，进而得出答案；
（2）先设三角形中，三个内角都小于60°，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．

解答： 证明：（1）假设

2

是有理数，
故

2

可以表示为

a

b

（a，b均为整数且互质），
则a²=2b²，
因为2b²是偶数，
所以a²是偶数，
所以a是偶数，
设a=2c，
则4c²=2b²，b²=2c²，
所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．
所以

2

是无理数；
（2）假设一个三角形中没有内角大于或等于60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
∴∠A+∠B+∠C＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°

点评：此题主要考查了有理数无理数的概念与运算，利用三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．