Question

如图,正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1,M是棱AB的中点.

(1)求CD与平面ACD₁所成的角;

(2)求证:平面B₁CD₁⊥平面B₁CM;

(3)求点A₁到平面B₁CM的距离.

Answer 1

(1)解法一:由于∠D₁CD=∠ACD,

∴CD在平面ACD₁上的射影是∠ACD₁的角平分线.                          

∴由cos45°=cos30°cosθ,得cosθ=,

即CD与平面ACD₁所成的角为θ=arccos.                             

解法二:作、证、算得θ=arccos.

解法三:建立图示空间直角坐标系,cos〈,〉=,

∴θ=-arccos.

(2)证法一:易得二面角BB₁CD₁的平面角∠BOD₁=90°,                     

∴平面B₁CD₁⊥平面B₁CM.                                             

证法二:由AC₁⊥平面B₁CD₁,MO∥AC₁,可得证.

证法三:求出平面B₁CM的一个法向量n=(-1,-2,1),

由n·=0(∵⊥平面B₁CD₁)，

从而得到平面B₁CM⊥平面B₁CD₁.

(3)解法一:由=,

得点A₁到平面B₁CM的距离d=.                                    

解法二:用向量求d==.