Question

3．已知函数f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-1．
（Ⅰ）求函数f （x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f （x₀）=$\frac{6}{5}$，x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角恒等变换化简f （x），求出$x∈[0，\frac{π}{2}]$时f （x）的最值即可；
（Ⅱ）根据f （x₀）的值，利用变换2 x₀=（2 x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$，即可求出cos2 x₀的值．

解答 解：（Ⅰ）f （x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；…（2分）
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；…（4分）
所以f （x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，最小值为-1；…（6分）
（Ⅱ）因为f （x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
所以sin（2 x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$；…（7分）
因为x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，所以2 x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
从而cos（2 x₀+$\frac{π}{6}$）=$-\sqrt{1-sin2（2{x_0}+\frac{π}{6}）}=-\frac{4}{5}$，（9分）
所以cos2 x₀=cos[（2 x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=cos（2 x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2 x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．