Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的类似性质，并加以证明．

Answer 1

若M、N是双曲线C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值

b2

a2

．证明如下：
设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 20

a2

-

y 20

b2

=1，
∴n2-

y

20

=b2(

m2

a2

-1)-b2(

x 20

a2

-1)=

b2

a2

(m2-

x

20

)．
∴k_PM•k_PN=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

=

n2- y 20

m2- x 20

=

b2

a2

为定值．