Question

7．在Rt△ABC中，A=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，线段EF在斜边BC上运动，且EF=1，设∠EAF=θ，则tanθ的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\frac{4\sqrt{3}}{11}$]．

Answer 1

分析 如图建立直角坐标系，设BF=k，k∈[0，3]．得F（2-$\frac{1}{2}k$，$\frac{\sqrt{3}}{2}k$），E（$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}k$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（k+1）$）．
tan∠EAB=$\frac{\sqrt{3}（k+1）}{3-k}$，tan∠FAB=$\frac{\sqrt{3}k}{4-k}$，．tanθ=tan（∠EAB-∠FAB）=$\frac{\sqrt{3}}{{k}^{2}-k+3}$；即可求取值范围．

解答 解：如图建立直角坐标系，设BF=k，k∈[0，3]．
∴∠B=60°，∴F（2-$\frac{1}{2}k$，$\frac{\sqrt{3}}{2}k$），E（$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}k$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（k+1）$）．
∴tan∠EAB=$\frac{\sqrt{3}（k+1）}{3-k}$，tan∠FAB=$\frac{\sqrt{3}k}{4-k}$，．
tanθ=tan（∠EAB-∠FAB）=$\frac{\sqrt{3}}{{k}^{2}-k+3}$；
∵k∈[0，3]．∴${k}^{2}-k+3∈[\frac{11}{4}，9]$，tanθ的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{9}，\frac{4\sqrt{3}}{11}$]
故答案为[$\frac{\sqrt{3}}{9}，\frac{4\sqrt{3}}{11}$]．

点评 本题考查了建立坐标系解决平面几何问题，属于难题．