题目内容

已知函数： $数学公式$ ．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为 $数学公式$ 时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴结论成立
（2） $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 即f（x）值域为[-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①当 $\text{[math]}$ ．
如果 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，∴g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²
如果 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，g（x）最小值不存在．
②当 $\text{[math]}$ ，
如果 $\text{[math]}$ ．
如果 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ．
综合得：当 $\text{[math]}$ 时，g（x）最小值是 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，g（x）最小值是（a-1）²；当 $\text{[math]}$ 时，g（x）最小值为 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，g（x）最小值不存在．
（文）同②
分析：（1）利用函数函数： $\text{[math]}$ ．直接代入化简即可；
（2）化简函数的 $\text{[math]}$ ，根据定义域为 $\text{[math]}$ ，
可确定f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）利用分类讨论，将绝对值符号化去，再利用二次函数配方法求解，应注意函数定义域与函数对称轴之间的关系．
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查函数的值域，同时考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．