Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e²，其中b，c∈R为常数．
（I）若b²＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；
（II）若b²≤4（c-1），且

lim

x→∞

f(x)-c

x

=4，试证：-6≤b≤2．

Answer 1

分析：（1）可用导数的知识求其单调性，注意到对题目中条件b²＞4c-1的运用，即保证导函数有两个零点，再进行计算．
（2）注意到f′（0）=c，则上述极限式变形为

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x-0

=f′（0），再结合不等式求解．

解答：解：（I）求导得f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]e²
因b²＞4（c-1）．故方程f′（x）=0即x²+（b+2）x+b+c=0有两根．
x1=-

b+2

2

-

b2-4(c-1)

2

＜x2=-

b+2

2

+

b2-4(c-1)

2

令f′（x）＞0．解得x＜x₁或x＞x₂
又令f′（x）＜0．解得x₁＜x＜x₂
故当x∈（-∞，x₁）时，f（x）是增函数；当x∈（x₂，+∞）时，f（x）也是增函数；
但当x∈（x₁，x₂）时，f（x）是减函数
（II）易知f（0）=c，f'（0）=b+c，因此

lim

x→∞

f(x)-c

x

=

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x

=f′(0)=b+c
所以，由已知条件得

b+c=4 b2≤4(c-1)

，因此b²+4b-12≤0
解得-6≤b≤2．

点评：本题中给定了不等式关系，减小了题目的难度，避免了对导函数是否有零点和有几个零点的讨论，此外，对于导数定义的考查也在本题中体现出来．注意到其中代换的技巧c=f′（0）．