题目内容

求两条渐近线为x+2y=0和x-2y=0且截直线x-y-3=0所得的弦长为 $数学公式$ 的双曲线方程．

解：设所求双曲线的方程为x²-4y²=k（k≠0），
将y=x-3代入双曲线方程得3x²-24x+k+36=0，
由韦达定理得x₁+x₂=8，x₁x₂= $\text{[math]}$ +12，
由弦长公式得
$\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得k=4，
故所求双曲线的方程为 $\text{[math]}$ -y²=1．
分析：先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程
点评：本题考查的重点是双曲线方程，解题的关键是利用双曲线的性质，待定系数法假设双曲线方程．

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已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A（

，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为

，试求k的值及此时B点的坐标．

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为

（1）求其渐近线方程；
（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P₁、P₂两点，且

，S△OP1P2=9，求双曲线方程．

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，

）为圆心、1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求与双曲线C共渐近线，且过点（1，

）的双曲线方程，并求出此双曲线方程的焦点坐标，长轴长和虚轴长．

已知双曲线

-y2=1与射线y=

x（x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．
（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；
（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；
（3）求证直线AB的斜率为定值．

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．