题目内容
已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为
（1）求其渐近线方程；
（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点，且
=2
，S△OP1P2=9，求双曲线方程．
| 5 |
（1）求其渐近线方程；
（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点，且
| P1P |
| PP2 |
分析：（1）利用双曲线的离心率，可得a，b之间的关系，即可求其渐近线方程；
（2）利用向量知识确定P的坐标，结合三角形的面积公式，即可求得结论．
（2）利用向量知识确定P的坐标，结合三角形的面积公式，即可求得结论．
解答：解：（1）∵双曲线的离心率为
，∴
=
，∴
=2
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y）
∵
=2
，
∴x=
，y=
即P(
，
)
由（1）可知，设所求双曲线方程为
-
=1
∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）
又∵S△OP1P2=9，∴
|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②
由①②得a2=4…（7分）
∴所求双曲线方程为
-
=1…（8分）
| 5 |
| c |
| a |
| 5 |
| b |
| a |
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y）
∵
| P1P |
| PP2 |
∴x=
| x1+2x2 |
| 3 |
| 2x1-4x2 |
| 3 |
即P(
| x1+2x2 |
| 3 |
| 2x1-4x2 |
| 3 |
由（1）可知，设所求双曲线方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 4a2 |
∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）
又∵S△OP1P2=9，∴
| 1 |
| 2 |
由①②得a2=4…（7分）
∴所求双曲线方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 16 |
点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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