Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，

2

）为圆心、1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求与双曲线C共渐近线，且过点（1，

2

）的双曲线方程，并求出此双曲线方程的焦点坐标，长轴长和虚轴长．

Answer 1

分析：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）双曲线的两条渐近线方程为y=±x，故设双曲线的方程x²-y²=k，又双曲线过点（1，

2

）代入方程即可求出双曲线方程、焦点坐标、长轴和虚轴长．

解答：解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0
∵该直线与圆 x2+(y-

2

)2=1相切，所以

2

1+k2

=1，解得k=±1，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，又∵双曲线C的一个焦点为(

2

，0)
∴2a²=2，a²=1，
∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（6分）
（2）双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
故设双曲线的方程x²-y²=k，
又双曲线过点（1，

2

），
∴1²-（

2

）²=k，k=-1
∴双曲线方程y²-x²=1 焦点坐标（0，±

2

），长轴和虚轴长都为2．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．