Question

18．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，则$\frac{g（x）}{f（x）}$=x．

Answer 1

分析 将-x代入已知解析式f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，结合奇偶性的定义f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），整理可得f（x）与g（x）的又一关系式，与已知解析式联立解方程即可．

解答 解：∵f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$①，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{-x-1}$②，
①②联立，解得f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，
∴$\frac{g（x）}{f（x）}$=x．
故答案为：x．

点评 本题考查了函数奇偶性的定义，注意将-x代入已知解析式从而构造出f（x）与g（x）的又一关系的方法的应用，同时考查了学生的方程思想．