Question

1．已知二次函数f（x）=x²-2$\sqrt{a}$x+b．
（1）若系数a，b都可随机取集合{0，1，2}中任何一数字，求方程f（x）=0有实根的概率；
（2）若系数a，b都可随机取区间[0，3]中任何一实数，求方程f（x）=0有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）为古典概型，只需列举出所有的基本事件和符合条件的基本事件，作比值即可；
（2）为几何概型，只要得出两个区域的面积，由几何概型的公式可得．

解答 解：（1）∵a为取集合{0，1，2}中任一个元素，b为取集合{0，1，2}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2）．其中第一个数表示a的取值，
第二个数表示b的取值，即基本事件总数为：9
设“方程f（x）=0有实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时，方程f（x）=0有实根的充要条件为：a≥2b．
当a≥2b时，a，b取值的情况有（0，0），（1，0），（2，0），
即A包含的基本事件数为：3，
∴方程f（x）=0有两个不相等实根的概率：p（A）=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$；
（2）∵a是从区间[0，3]中任取一个数，b是从区间[0，3]中任取一个数，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}，
这是一个矩形区域，其面积S_Ω=3×3=9．
设“方程f（x）=0有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为
M={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥2b}，
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0有实根的概率：
p（B）=$\frac{{S}^{′}}{S}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题以一元二次方程的根为载体，考查古典概型和几何概型．