Question

【题目】如图几何体是四棱锥，为正三角形，，，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）是棱的中点，求证：平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的判定定理；（2）由线线平行得到线面平行；（3）建立空间直角坐标系, 分别算出平面和平面的法向量, 用空间向量数量积推论算出二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：∵为正三角形，，，

故连接交于点，则，

又∵，，故面，∴平面平面．

（2）证明：取的中点，连接，则，且平面，∴平面；

而，，∴，且平面，∴平面．

综上所述，平面平面，∴平面

（3）解：由（1）知，且，，连接，则，故；

又∵是的中点，故，

故如图建立空间直角坐标系，则，，，，

，．

设平面的法向量为，则由得．

，．

同理得平面的法向量．

故二面角的平面角的余弦值为