题目内容
已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断
在（0，3）上是增函数还是减函数，并加以证明．
解：函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
则
．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，
∴0＜f（x1）•f（x2）＜1，
，
．
∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）
由此可知，函数在（0，3）上是减函数．
分析：在（0，3）上任取2个值x1＜x2，化简g（x1）-g（x2）的式子，利用 0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，判断g（x1）-g（x2）＞0，从而证明函数在（0，3）上是减函数．
点评：本题考查函数单调性的判断和证明方法．
证明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
则
．∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，
∴0＜f（x1）•f（x2）＜1，
，．∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）
由此可知，函数
在（0，3）上是减函数．分析：在（0，3）上任取2个值x1＜x2，化简g（x1）-g（x2）的式子，利用 0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，判断g（x1）-g（x2）＞0，从而证明函数
在（0，3）上是减函数．点评：本题考查函数单调性的判断和证明方法．
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已知函数f(x)=
，令g(x)=f(
)．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；
（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．
| 1 |
| x2+1 |
| 1 |
| x |
（1）求函数f（x）的值域；
（2）任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；
| x | … | |||||||
f(x)-
|
… | |||||||
g(x)-
|
… |
