Question

（2012•闸北区二模）设函数f（x）的图象关于y轴对称，又已知f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集为（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，再由f（x）在（0，+∞）上为减函数，得到在（-∞，0）上为增函数，且f（-1）=f（1）=0，然后分当x∈（-∞，-1）时；当x∈（-1，0）时；当x∈（0，1）时；当x∈（1，+∞）时，分别根据增减性判断出f（x）的正负，进而确定出

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

的正负，即可得到不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集．

解答：解：∵函数f（x）图象关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，且为偶函数，又f（1）=0，
∴f（-1）=f（1）=0，
当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＞0；
当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＜0；
当x∈（0，1）时，f（x）＞0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＞0；
当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＜0，
则不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）．
故选B

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：偶函数的性质，函数的增减性，利用了转化及分类讨论的思想，是一道高考中常考的题型．