Question

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m²的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m²，中间两道隔墙建造单价为248元/m²，池底建造单价为80元/m²，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

Answer 1

解：(1) 设污水处理池的宽为x m，则长为 m.

总造价为f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296＋1 2960≥1 296×2＋12 960＝38 880元．当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m，宽为10 m时总造价最低，最低总造价为38 880元．

(2) 由限制条件知∴ 10≤x≤16.设g(x)＋x＋，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴ 当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m，宽为10 m时，总造价最低，为38 882元．