Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程是.

（Ⅰ）求实数，的值;

（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义，点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲线上也在直线上，列式即可得解；

（Ⅱ）求出的解析式及其单调性，当时，，为增函数；

时，，为减函数，由函数有两个不同的零点，则，满足，构造函数，再根据的单调性即可得出，的关系.

（Ⅰ）由求导，得，

由切线方程知，切点为，

切线斜率为，

所以解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

，

当时，，为增函数；

时，，为减函数.

所以时，函数取得极大值.

又易知，，，

所以函数的两个不同的零点，满足，

构造函数，

即，

.

当时，，所以为上的增函数，

因为，所以，

即，即，

因为，所以，

又因为，所以，而，且在区间上单调递减，

所以由可得，

即.