Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)连接交于，连接，由三角形的中位线得，然后证明平面；

(2)以为原点，以向量所在直线为轴，过作的垂线为轴建立空间直角坐标系（如图），求出相关点的坐标，求出平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，利用向量的数量积求解即可.

(1)连接交于，连接，

因为四边形为正方形，所以为的中点，

又因为为线段的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

(2) 以为原点，以向量所在直线为轴，

过作的垂线为轴建立空间直角坐标系（如图）

则,

因为，所以，，

则，

在中：可知：，

又因为为线段的中点，所以，

设平面的法向量为，则

即令，则，，

即，

又因为平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为