Question

11．若三棱锥的三视图如图，则其表面积为30+6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，分别求出S_△ADB，S_△ADC，S_△CBD，S_△ACB，问题得以解决．

解答 解：根据题意，还原出如图的三棱锥A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
侧面△ACD中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，结合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，结合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，AD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
设△ADB中AB边上的高为h，则h=$\sqrt{41-5}$=6，
由三角形面积公式，得S_△ADB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×6=6$\sqrt{5}$
又∵S_△ACB=×5×4=10，S_△ADC=S_△CBD=×4×5=10
∴三棱锥的表面积是S_表=S_△ADB+S_△ADC+S_△CBD+S_△ACB=$30+6\sqrt{5}$

点评 本题给出三棱锥的三视图，求该三棱锥的表面积，着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质，属于中档题．