Question

12．设{a_n}是公比不为1的等比数列，2a₂，3a₃，4a₄成等差数列，a₁=64
（1）求a_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列和等差数列的性质，列出方程求出公比，由此能求出a_n．
（2）先求出b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{7-n}$=7-n，由此能求出数列{|b_n|}的前20项和．

解答 解：（1）∵{a_n}是公比不为1的等比数列，2a₂，3a₃，4a₄成等差数列，a₁=64，
∴2（3×64q²）=2×64q+4×64q³，
整理，得q（2q²-3q+1）=0，
解得q=0（舍），q=1（舍），q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=64（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^7-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{7-n}$=7-n，
∴由b_n≥0，得n≤7．数列{b_n}是首项为6，公差为-1的等差数列，
{b_n}前n项和S_n=6n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=$\frac{13n-{n}^{2}}{2}$．
∴数列{|b_n|}的前20项和：
T₂₀=2S₇-S₂₀=2×$\frac{13×7-{7}^{2}}{2}$-$\frac{13×20-2{0}^{2}}{2}$=42-（-70）=112．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前20项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．