Question

4．设各项为正的等比数列{a_n}的公比q≠1，且a₃，a₅，a₆成等差数列，则$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的方程，根据q不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意q的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的式子，把q的值代入即可求出值．

解答 解：由a₃、a₅、a₆成等差数列，得到2a₅=a₃+a₆，
则2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，由a₁≠0，q≠0，得到2q²=1+q³，
可化为：（q-1）（q²-q-1）=0，又q≠1，
∴q²-q-1=0，解得：q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（小于0，不合题意，舍去），
则则$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{q（{a}_{3}+{a}_{5}）}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选B．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．