Question

20．已知|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2，＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=60°，则$\overrightarrow a$在2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的正射影的数量是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，再由向量的夹角公式，可得cos＜$\overrightarrow a$，2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$＞，再由向量的投影的概念，计算即可得到所求．

解答 解：|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2，＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=60°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×2×cos60°=1，
则cos＜$\overrightarrow a$，2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2×1+1}{1×\sqrt{4+4+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\overrightarrow a$在2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的正射影的数量为
|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow a$，2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于中档题．