Question

【题目】如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.

（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，

将点代入椭圆的方程得：，解得：

故椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为

由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：

联立方程，消去得：，

，.

有

直线的斜率为：.

同理直线的斜率为：.

由

.

由上得直线与的斜率互为相反数，可得.