Question

【题目】已知直线方程为.

（1）证明：直线恒过定点；

（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）；（3）最小值为；此时直线的方程

【解析】

（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；

（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．

（1）证明：直线方程为，可化为，对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点；

（2）解：点到直线的距离最大，

可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即.

，

的斜率为，

可得，解得.

（3）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，直线方程为，，

则，，

，当且仅当时取等号，面积的最小值为.

此时直线的方程.