Question

10．如图，椭圆 M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线x=±a和y=±b所围成的矩形 A BCD的面积为$32\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若 P为椭圆M上任意一点，O为坐标原点，Q为线段OP的中点，求点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）已知N（1，0），若过点 N的直线l交点Q的轨迹于E，F两点，且$-\frac{18}{7}≤\overrightarrow{{N}{E}}•\overrightarrow{{N}F}≤-\frac{12}{5}$，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$及$2a•2b=32\sqrt{3}$，解得a，b，c值，可得椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），Q（x，y），根据，Q为线段OP的中点，可得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，代入椭圆方程整理可得点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）设直线l的方程为：y-0=k（x-1），联立直线方程，结合韦达定理，及向量数量积公式，可得直线l的斜率的取值范围．

解答 解：（I）$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⇒\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}$…①
矩形ABCD面积为$32\sqrt{3}$，即$2a•2b=32\sqrt{3}$…②
由①②解得：$a=4，b=2\sqrt{3}$，
∴椭圆M的标准方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），Q（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{0+{x_0}}}{2}\\ y=\frac{{0+{y_0}}}{2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，
$又\frac{{{x_0}^2}}{16}+\frac{{{y_0}^2}}{12}=1$，
∴$\frac{{{{（2x）}^2}}}{16}+\frac{{{{（2y）}^2}}}{12}=1$
所以点Q的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（7分）
（ III）设直线l的方程为：y-0=k（x-1），即y=kx-k
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.得3{x^2}+4{k^2}{（x-1）^2}=12$
即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（8分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$…（9分）
又$\overrightarrow{NE}=（{x}_{1}-1，{y}_{1}），\overrightarrow{NF}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}$
=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=（x₁-1）（x₂-1）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=$（1+{k}^{2}）[\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1]$
=$（1+{k}^{2}）[\frac{-9}{3+4{k}^{2}}]$…（11分）
∴$-\frac{18}{7}≤（1+{k}^{2}）[\frac{-9}{3+4{k}^{2}}]≤-\frac{12}{5}$，
即$\frac{12}{5}≤\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}≤\frac{18}{7}$，
解得：$k∈[-\sqrt{3}，-1]∪[1，\sqrt{3}]$…（13分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，向量的数量积公式，难度中档．