Question

5．已知曲线y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出导数，变形运用基本不等式，可得最小值，由点斜式方程可得切线的方程，求得与x，y轴的交点，由三角形的面积公式可得所求面积．

解答 解：y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的导数为y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$
≥-$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=-$\frac{1}{4}$，
当且仅当x=0时，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
即有斜率最小的直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-0），
可得与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，$\frac{1}{2}$），
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和切线方程，考查基本不等式求最值，以及运算能力，属于中档题．