Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知得
解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得．
又S₃=7，可知，
即2q²-5q+2=0，
解得．
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）
T_n=（+2）+（+2³）+…+[+2^2n-1]
=[++…+^_]+（2+2³+…+2^2n-1）
=[（1-）+（）+…+（）]+
=（1-）+
=
分析：（1）根据等比数列的前n项和和等差数列的性质，列出方程组，求出a₂，进而求出公比和a₁；
（2）首先写出数列{b_n}的通项公式，然后写出数列{b_n}的前n项和T_n，再利用裂项求和，和等比数列前n项和公式求和即可．
点评：本题考查了等比数列的通项公式和数列的求和，此题采取的分组求和和裂项的方法求数列的前n项和，是两种常用方法要熟练掌握，属于中档题．